Як пишеться на початку шляху?

Словосполучення «на початку» правильне, якщо йдеться про предмети: «на початку тижня»; «на початку шляху», «На початку книги», на початку цього тексту, ось тут.

Тижні – Іменник «тиждень» у формі родового відмінка однини і у формі називного і знахідного відмінків множини. Вживається у виразах: протягом тижня, в початку тижня, у середині тижня, в кінці тижня (На протязі чого? – Родовий відмінок).

не-чёт-ко Прислівник, визначальний, якісний; незмінне. Приставка: не-; корінь: -чітка-; суфікс: -о.

Частина мови слова початку – іменник. Початкова форма: початок (називний відмінок однини). Постійні ознаки: загальне, неживе, середній рід, 2-е відмінювання. Непостійні ознаки: прийменниковий відмінок, однина.